ГРУППОВОЙ АНАЛИЗ, РЕДУКЦИИ И ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ МОНЖА–АМПЕРА МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

Исследовано уравнение Монжа–Ампера с тремя независимыми переменными, встречающееся в электронной магнитной гидродинамике. Проведён групповой анализ этого сильно нелинейного уравнения с частными производными. Найдено одиннадцатипараметрическое преобразование, сохраняющее вид уравнения. Получена формула, дающаявозможность строить многопараметрические семейства решений исходя из более простых решений. Рассмотрены двумерные редукции, приводящие к более простым уравнениям в частных производных с двумя независимыми переменными. Описаны одномерные редукции, позволяющие получать автомодельные и другие инвариантные решения, которые удовлетворяют обыкновенным дифференциальным уравнениям. Построены точные решения с аддитивным, мультипликативным и обобщённым разделением переменных, многие из которых допускают представление в элементарных функциях. Полученные результаты и точные решения могут быть использованы для оценки точности и анализа адекватности численных методов решения начально-краевых задач, описываемых сильно нелинейными уравнениями с частными производными.

Об авторах

А. В Аксенов

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

Email: aksenov@mech.math.msu.su
Russia

А. Д Полянин

Институт проблем механики имени А.Ю. Ишлинского РАН

Email: polyanin@ipmnet.ru
Москва

Список литературы

  1. Smirnov, V.V. “Phonons” in two-dimensional vortex lattices / V.V. Smirnov, K.V. Chukbar // J. Experiment. Theor. Phys. — 2001. — V. 93, № 1. — P. 126–135.
  2. Zaburdaev, V.Yu. Nonlinear dynamics of electron vortex lattices / V.Yu Zaburdaev, V.V. Smirnov, K.V. Chukbar // Plasma Physics Reports. — 2014. — V. 30, № 3. — P. 214–217.
  3. Крылов Н.В. Последовательности выпуклых функций и оценки максимума решения параболического уравнения / Н.В. Крылов // Сиб. мат. журн. — 1976. — Т. 17, № 2. — С. 290–303.
  4. Chen, L. Convex-monotone functions and generalized solution of parabolic Monge–Amp`ere equation / L. Chen, G. Wang, S. Lian // J. Differ. Equat. — 2002. — V. 186, № 2. — P. 558–571.
  5. Xiong, J. On Jorgens, Calabi, and Pogorelov type theorem and isolated singularities of parabolic Monge–Amp`ere equations / J. Xiong, J. Bao // J. Differ. Equat. — 2011. — V. 250, № 1. — P. 367–385.
  6. Tang, L. Regularity results on the parabolic Monge–Amp`ere equation with VMO type data / L. Tang // J. Differ. Equat. — 2013. — V. 255, № 7. — P. 1646–1656.
  7. Dai, L. Exterior problems for a parabolic Monge–Amp`ere equation / L. Dai // Nonlin. Anal. Theory, Methods & Appl. — 2014. — V. 100. — P. 99–110.
  8. Tang, L. Boundary regularity on the parabolic Monge–Amp`ere equation / L. Tang // J. Differ. Equat. — 2015. — V. 259. — P. 6399–6431.
  9. Погорелов, А.В. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей / А.В. Погорелов. — М. : Наука, 1969. — 760 с.
  10. Polyanin, A.D. Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations / A.D. Polyanin, V.F. Zaitsev. — 2nd ed. — Boca Raton : CRC Press, 2012. — 1876 p.
  11. Хабиров, С.В. Неизэнтропические одномерные движения газа, построенные с помощью контактной группы неоднородного уравнения Монжа–Ампера / С.В. Хабиров // Мат. сб. — 1990. — Т. 181, № 12. — С. 1607–1622.
  12. Sulman, M.M. An efficient approach for the numerical solution of the Monge–Amp`ere equation / M.M. Sulman, J.F. Williams, R.D. Russell // Appl. Numer. Math. — 2011. — V. 61, № 3. — P. 298–307.
  13. Feng, X. Nonstandard local discontinuous Galerkin methods for fully nonlinear second order elliptic and parabolic equations in high dimensions / X. Feng, T. Lewis // J. Scient. Comput. — 2018. — V. 77, № 3. — P. 1534–1565.
  14. Dubinov, A.E. New exact solutions of the equation of non-linear dynamics of a lattice of electronic vortices in plasma in the framework of electron magnetohydrodynamics / A.E. Dubinov, I.N. Kitayev // Magnetohydrodynamics. — 2020. — V. 56, № 4. — P. 369–375.
  15. Рахмелевич, И.В. Неавтономное эволюционное уравнение типа Монжа–Ампера с двумя пространственными переменными / И.В. Рахмелевич // Изв. вузов. Математика. — 2023. — № 2. — С. 66–80.
  16. Polyanin, A.D. Separation of Variables and Exact Solutions to Nonlinear PDEs / A.D. Polyanin, A.I. Zhurov. — Boca Raton ; London : CRC Press, 2022. — 401 p.
  17. Овсянников, Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений / Л.В. Овсянников. — М. : Наука, 1978. — 400 с.
  18. Косов, A.A. Метод редукции и новые точные решения многомерного уравнения нелинейной теплопроводности / А.А. Косов, Э.И. Семенов // Дифференц. уравнения. — 2022. — T. 58, № 2. — С. 185–191.
  19. Косов, A.A. О точных решениях обобщённого уравнения Ричардса со степенными нелинейностями / А.А. Косов, Э.И. Семенов // Дифференц. уравнения. — 2020. — T. 56, № 9. — С. 1153–1163.
  20. Аксенов, А.В. Обзор методов построения точных решений уравнений математической физики, основанных на использовании более простых решений / А.В. Аксенов, А.Д. Полянин // Теор. мат. физика. — 2022. — Т. 211, № 2. — С. 567–594.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Российская академия наук, 2024