Том 59, № 8 (2023)

Изучается краевая задача для квазилинейного обыкновенного дифференциального уравнения реакции-диффузии-адвекции с содержащей градиент искомой функции в квадрате KPZ-нелинейностью. Рассматривается случай существования внутреннего переходного слоя в некритическом и критическом случаях. Cтроится асимптотическое приближение решения и определяется асимптотика для точки переходного слоя. Для доказательства теорем существования используется асимптотический метод дифференциальных неравенств. Асимптотическая устойчивость решений по Ляпунову доказывается с помощью метода сужающихся барьеров. Теоремы о неустойчивости доказываются с использованием неупорядоченных верхнего и нижнего решений.

Исследованы сингулярно возмущённые задачи при наличии спектральных особенностей у предельного оператора с использованием метода регуляризации С.А. Ломова. В частности, построено регуляризованное асимптотическое решение сингулярно возмущённой неоднородной смешанной задачи на полуоси для параболического уравнения при наличии ``сильной'' точки поворота у предельного оператора. На основе идеи асимптотического интегрирования задач с нестабильным спектром показано, каким образом следует вводить регуляризирующие функции и дополнительные регуляризирующие операторы, подробно описан формализм метода регуляризации для такого вида особенности, проведено обоснование этого алгоритма и построено асимптотическое решение любого порядка по малому параметру.

Определяется элементарное решение полигармонического уравнения, с помощью которого приводится явное представление функции Грина задачи Дирихле для полигармонического уравнения в единичном шаре при всех размерностях пространства, за исключением некоторого конечного множества. На основе полученной функции Грина строится решение однородной задачи Дирихле в единичном шаре. В качестве примера найден явный вид решения однородной задачи Дирихле для неоднородного полигармонического уравнения при простейшей полиномиальной правой части.

В пространстве выпуклых компактов с операцией сложения по Минковскому и операцией умножения матрицы на множество рассмотрены линейные рекуррентные уравнения первого порядка. Дано полное описание таких уравнений, все решения которых имеют постоянный диаметр. Для уравнений специального вида вычислены показатели Ляпунова последовательностей диаметров их решений.

Изучена зависимость радиуса шара с центром в нуле, вписанного в значения интеграла от многозначного отображения, от верхнего предела интегрирования. Для некоторых типов интегралов найдены точные асимптотики радиуса по верхнему пределу, когда верхний предел стремится к нулю. Рассмотрены примеры нахождения этого радиуса. Полученные результаты применены для вывода новых достаточных условий равномерно непрерывной зависимости минимального времени и решения-точки в линейной задаче быстродействия от начальных данных. Также рассмотрены приложения в некоторых алгоритмах со множеством достижимости линейной управляемой системы.

Для линейных нестационарных сингулярно возмущённых систем (ЛНСВС) с квазидифференцируемыми коэффициентами и малым параметром при некоторых производных рассматривается задача равномерной наблюдаемости. Доказаны независящие от малого параметра необходимые и достаточные условия квазидифференцируемости множества выходных функций, построены независящие от малого параметра матрицы наблюдаемости связанных с ЛНСВС медленной и семейства быстрых подсистем, установлена связь между ними и матрицей наблюдаемости исходной системы. На основе полной декомпозиции исходной ЛНСВС относительно действия группы линейных невырожденных преобразований доказаны ранговые, независящие от малого параметра и справедливые для всех достаточно малых его значений, достаточные условия равномерной наблюдаемости ЛНСВС. Условия выражены через матрицы наблюдаемости медленной и семейства быстрых подсистем, имеющих меньшие размерности, чем исходная ЛНСВС.

Ниже публикуются краткие аннотации докладов, состоявшихся в весеннем семестре 2023 г. (предыдущее сообщение о работе семинара дано в журнале ``Дифференц. уравнения''. 2023. Т. 59. № 2; за дополнительной информацией обращаться по адресу: nds@cs.msu.su. Семинар основан академиками РАН С.В. Емельяновым и С.К. Коровиным. Составитель хроники А.В. Ильин.