Том 59, № 7 (2023)

Рассмотрена задача Дирихле для дифференциально-разностного уравнения второго порядка в дивергентном виде с переменными коэффициентами на конечном интервале $Q=(0,d).$ Исследованы условия на правую часть уравнения, обеспечивающие гладкость обобщённого решения на всём интервале. Доказано, что обобщённое решение задачи принадлежит пространству Соболева $W_2^2(Q)$ в случае ортогональности правой части в пространстве $L_2(Q)$ конечному числу линейно независимых функций.

Рассматривается первая краевая задача для равномерно-параболических систем второго порядка с одной пространственной переменной в ограниченных и полуограниченных областях с негладкими боковыми границами. Коэффициенты системы удовлетворяют условию Гёльдера и не зависят от временн\`ой переменной. Для непрерывных начальной и граничной функций устанавливается существование и единственность классического решения этой задачи.

Введены понятия алгоритма обучения, целевой функции, распознающей системы, класса изображений, тренировочного множества, алгоритма с поощрением, конечно-сходящегося алгоритма, адаптивной управляющей системы, цели управления, тактики управления, времени адаптации и т.д., относящиеся к проблеме искусственного интеллекта в процессах обучения и адаптации. Поставлена общая задача о самообучении (обучении "без учителя") -- о разделении множеств -- в терминах классического вариационного исчисления. Общность задачи обусловлена введением в анализ дополнительной переменной времени. Задача решена с помощью определения экстремальных условий, при которых будет достигнута минимизация функционала общего среднего риска. Рассмотрены задачи, соответствующие нефиксированному и фиксированному промежуткам времени. Для двух этих случаев найдены выражения для расчёта вариаций функционалов качества. Указаны необходимые условия для определения экстремальных значений процесса самообучения (разделения классов множества изображений) во времени.

Методы декомпозиции области применяются для приближённого решения краевых задач для уравнений с частными производными на параллельных вычислительных системах. Наиболее полно специфика нестационарных задач учитывается при использовании безытерационных схем декомпозиции области. Регионально-аддитивные схемы строятся на основе различных классов схем расщепления. Выделяется новый класс схем декомпозиции области с аддитивным представлением решения на новом слое по времени, который базируется на разделении области на подобласти на основе разбиения единицы. Рассматривается пример задачи Коши для эволюционных уравнений первого порядка с положительным самосопряжённым оператором в конечномерном гильбертовом пространстве. Строятся безусловно устойчивые двух- и трёхслойные схемы расщепления для соответствующей системы уравнений.

Численно исследованы вопросы, связанные с отсутствием сходимости при применении формально консервативных по пути разностных схем для решения неконсервативных гиперболических систем уравнений. Эта проблема является центральной при построении корректных разностных схем для решения указанного класса задач. Изложены базовые понятия теории неконсервативных гиперболических систем уравнений и соответствующие проблемы построения разностных схем для их решения. Предложен вариант метода HLL, позволяющий использовать произвольный явно заданный путь. Для модельной системы уравнений Бюргерса явно вычислены ударные адиабаты и пути, соответствующие вязкой регуляризации системы заданного вида. Проанализированы причины отсутствия сходимости численных решений к точным при некорректном применении соответствующих алгоритмов. Показано, что по крайней мере в частном рассмотренном случае формально консервативный по пути вариант метода HLL даёт правильное решение задачи.

Рассматривается многомерная система обыкновенных дифференциальных уравнений с релейным гистерезисом. Параметры системы полагаются такими, что существует семейство непрерывных операторов, каждый из которых отображает некоторое связное компактное множество в себя. При этом оператору соответствует периодическая орбита с чётным числом точек переключения в фазовом пространстве системы. Для семейства операторов получено необходимое и достаточное условие существования единственной неподвижной точки.